Realni brojevi i njihova svojstva

Video: Video Tutorial "Racionalni i realni brojevi"

Pitagora je tvrdio da je broj temelj svijeta u rangu s glavnim elementima. Platon je vjerovao da je broj linkova fenomena i noumenon, pomažući da se zna, da se prosuđuje i izvući zaključke. Aritmetička dolazi od riječi "arifmos" - broj, polazi matematike. Moguće je opisati bilo koji objekt - od osnovnih do jabuka apstraktnim prostorima.

Treba kao faktor razvoja

U početnim fazama razvoja društva potrebe osoba ograničen potrebom da rezultat - .. Jedna vreća žita, dva zrna torbu, itd Da biste to učinili, to je prirodni brojevi, skup koji je beskonačan slijed prirodnih brojeva N.

Kasnije, razvoj matematike kao znanosti, bilo je potrebno u određenom području cijelih brojeva Z - to uključuje i negativne vrijednosti i nula. Njegova pojava na domaćoj razini, to je bio izazvan činjenicom da prvo knjiženje morao nekako popraviti dugove i gubitke. Na znanstvenoj razini, negativni brojevi su omogućili da se riješi najjednostavnije linearnih jednadžbi. Između ostalog, to je sada moguće slike trivijalna koordinatni sustav, npr. A. Bilo je referentna točka.

Sljedeći korak bila je potreba da uđu djelomične brojeve, jer znanost ne stoji i dalje, sve više i više novih otkrića zahtijevala teorijsku podlogu za novi rast pritiskom. Tako je bilo polje racionalni brojevi P:

Konačno, više ne ispunjavaju zahtjeve racionalnosti, jer su sve nove spoznaje zahtijeva opravdanje. Bilo polje realnih brojeva R, djela Euklidovim nesumjerljivosti određenim količinama zbog njihove iracionalnosti. To jest, broj grčkih matematike pozicioniran ne samo kao konstanta, nego kao apstraktne vrijednosti koja se karakterizira omjer nesumjerljivim veličinama. S obzirom na činjenicu da postoje realni brojevi, "Vidjeli smo svjetlo" količinama kao što je "pobožan" i "e"Bez kojih moderna matematika nije mogao uzeti mjesto.

Konačni inovacija bila je kompleksni broj C. To je odgovoriti na niz pitanja i opovrgnuo je ranije ušao postulate. Zbog brzog razvoja algebre ishod je bio predvidljiv - s realnih brojeva, odluka mnogih problema nije bilo moguće. Na primjer, zahvaljujući kompleksnih brojeva isticao teorije struna i kaos proširio jednadžbi hidrodinamike.

Set Theory. kantor

Koncept beskonačnosti uvijek je izazvao kontroverze, jer je nemoguće dokazati ili opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je djelovala strogo provjerenih postulata, to se očitovalo najočitije, više da je teološki aspekt još uvijek težio u znanosti.

Međutim, kroz rad matematičar Georg Cantor sve vrijeme pala na svoje mjesto. On je dokazao da beskonačnim skupovima postoji beskonačan skup, a to je polje R je veća od polja N, neka oboje i nema kraja. U sredini XIX stoljeća, njegove ideje javno nazvao gluposti i zločin protiv klasične nepromjenjivih kanonima, ali vrijeme će staviti sve na svoje mjesto.

Osnovna svojstva polja R

Stvarne vrijednosti ne samo ista svojstva kao i podmozhestva da oni uključuju, ali se nadopunjuju druge masshabnosti na temelju njegovih elemenata:

Video: Uvod u matematičku analizu

• R. nula postoji i pripada polju c + c 0 za svaki c R.
• Nula postoji i pripada području R. c x = 0 0 za svaki c R.
• Omjer c: d od d &zanemarivanja 0 postoji i vrijedi za bilo c, d R.
• Polje R odredio, tj ako c &le d, d &le C, a zatim c = d bilo kojeg c, d R.
• Dodatak u polju R je zamjenski, tj c + d = d + c, za bilo c, d R.
• Umnožavanje u polju R je zamjenski, tj x c x d = d c za sve c, d R.
• Dodatak u polju R je asocijativno tj (c + d) + c + Rf = (d + f) za bilo koji c, d, f R.
• Umnožavanje u polju R je asocijativno tj (c x d) X = f (c x d x f) za bilo koji c, d, f R.
• Za svaki broj polja R nasuprot tome ima, kao da je c + (c) = 0, gdje je c, -C od R.
• Za svaku broj polja R postoji obrnutom, tako da se c Xc^-1 = 1, pri čemu c, c^-1 R.
• Jedinica postoji i pripada R, tako da su c X1 = C, za bilo c R.
• Da ima raspodjelu snage zakon, tako da c x (d + f) = C x d + c x f, iz bilo kojeg c, d, f R.
• Polje R nula nije jednak jedinici.
• Polje R prelazni: ako c &le d, d &le f, zatim c &le f za bilo c, d, f R.
• U redoslijedu dodavanja R i povezani: ako c &le d, a zatim c + f &le d + f za sve c, d, f R.
• U nalogu R i množenja povezani: ako 0 &le c, 0 &le d, na 0 &le c x d bilo kojeg c, d R.
• Kao negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirano, tj za bilo c, d od Rf, postoji od R, da je c &le f &le d.

polje Modul R

Pravi brojevi su nešto takvo kao modul. to je određen kao | F | za bilo f u R. | F | F, ako 0 &le fi | f | = F, ako 0 > f. Ako uzmemo u obzir modul kao geometrijske vrijednosti, to je udaljenost - nije važno, "prošao" morate biti nula ili minus do plus naprijed.

Složene i realni brojevi. Koje su sličnosti i razlike?

Video: numeričke seta. lekcija 1

Do i velikih, kompleksnih i realnih brojeva - oni su jedna te ista, osim što je prvi pridružio imaginarni jedinice koju je kvadrat koji je jednak -1. Elementi polja R i C može se predstaviti sa slijedećom formulom:

• c = d + f x i, naznačen time, d, f pripadaju polje R i I - imaginarnom jedinice.

Da biste dobili c RF u ovom slučaju jednostavno pretpostavlja se da je nula, tj postoji samo pravi dio broja. Budući da je polje kompleksnih brojeva ima isti skup značajki kao oblasti pravi, f x i = 0 ako je F = 0.

Što se tiče praktičnih razlika, na primjer u području istraživanja kvadratna jednadžba To se ne može riješiti ako je diskriminativna je negativan, dok je C polje ne nameće takvu ograničenje zbog uvođenja imaginarnom jedinicom i.

rezultati

"cigle" aksiomi i postulati na kojima se temelji matematike, ne mijenjaju. Na neke od njih zbog povećanja informacija i uvođenje novih teorija stavlja sljedeći "cigle"Koja u budućnosti može postati temelj za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, unatoč činjenici da su podskup realnog polja R, ne gubi svoju relevantnost. To je za njih osnova svega elementarne aritmetike, koji počinje sa znanjem čovjeka mira.

S praktične točke gledišta, realni brojevi izgledaju kao ravnoj liniji. Moguće je odabrati smjer, identificirati podrijetlo i igralište. Izravno se sastoji od beskonačno mnogo točaka, od kojih svaki odgovara jednom stvarnom broju, bez obzira je li ili nije racionalno. Iz opisa je jasno da se radi o konceptu, koji se temelji matematike u cjelini, a matematička analiza posebno.